Последовательности

Последовательности 2011 Васильева Е.Е.

Продолжи ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6 12, 10, 8, 6, 4 6, 9, 12, 15, 18, 21 2, 4, 8, 16, 32 1, 4, 16

Дни недели Классы В школе Дома на улице Квартиры в доме Номера счетов в банке Название месяцев

В порядке возрастания положительные нечетные числа В порядке убывания Правильные дроби с числителем, равным 1 В порядке возрастания положительные числа, кратные7 В порядке убывания положительные двузначные числа 7;14;21;28… 99;98;97… 1;3;5;7;9…

Определение Функцию y=f(x), определенную на множестве натуральных чисел xϵN (или его конечном подмножестве), называют числовой последовательностью и обозначают y=f(n), или y1,y2,…,yn,…. или (yn).

Числа y1, y2, …, yn называют членами последовательности, а член с номером n – ее n-членом, его еще называют общим членом.

a1 a2 a3 a4 … an Первый член Второй член Третий член Четвертый член n-член последовательности

Задать числовую последовательность — это значит указать, как отыскивается тот или иной ее член, если известен номер занимаемого им   места.

Способы описания последовательности Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический словесный рекуррентный

Формула 1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена: yn = f(n). Пример: yn = 2n – 1 Y1=2*1-1=1 Y2=2*2-1=2 Y3=2*3-1=5 Y4=2*4-1=7 Y5=2*5-1=9 последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, …. Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, ….

Рекурентный Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Пример рекуррентного задания Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,…. Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Графиком последовательности как функции, заданной на множестве натуральных чисел, являются отдельные, изолированные точки координатной плоскости yn=3n-2

Последовательности заданы формулами an=n4 an=n+4 an=2n-5 an=(-1)nn2 an= -n-2 an=3n-1 1. Впишите пропущенные члены последовательности 1;___;81;___;625;… 5;___;___;___;9 -1;4;___;___; -25;… -3; -4;___;___; -7… 2; 8;___;___;___... ___;-4;___;___;-7 2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей Положительные и отрицательные положительные отрицательные 16 256 -9 16 -5 -6 6 7 8 -3 -5 -6 26 80 242

По преданию, индийский царь Шерам, восхищенный  остроумием шахматной игры, призвал к себе изобретателя шахмат Сету и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя ! Исполню любое твое желание…» Сета попросил положить на первую клетку доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2  зерна, на третью – 4 зерна и т. д.  Сколько нужно зерен ?   

Среднеазиатский математик Бернулли получил верный ответ:       18 446 744 073 709 551 615 зерен. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше поверхности Земли.

ПРОТОРГОВАЛСЯ ЛИ КУПЕЦ ? Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец ска зал, что цена велика, "Хорошо,-ответил продавец, если ты гово ришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди на его подковах, а гвоздей на его каждой подкове по 6 штук, и будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй - две полушки, за третий 4 полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше чем предыдущий". Купец согласился, проторговался ли купец?

РЕШЕНИЕ: всего гвоздей 24 штуки, за все гвозди купец должен заплатить 1 + 2 + 2*2 + 2*2*2+ +...+2*2*...*2 полушек 23 раза и того получаем 41943 рубля и 15 полушек.

Свойства числовых последовательностей Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого  n > 1  верно неравенство  an > a n – 1.

Пример Последовательность кубов натуральных чисел 1,8,27

УБЫВАЮЩАЯ Числовая последовательность называется убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, иными словами, если для всякого  n > 1  верно неравенство  an < a n – 1.

Пример

Монотонность Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Определить монотонность 1)-1,-4,-9,-16…. 2)-1,0,1,2…. 3)-1,1,-1,1

Ограниченность сверху Определение. Последовательность  a1,  a2,  a3,  … называется ограниченной сверху, если для ее такое число  M,  что неравенство   an

Пример 1,-1,-3,-5 Ограничена сверху М =1

Ограниченность снизу Определение. Последовательность  a1,  a2,  a3,  … называется ограниченной снизу, если для ее такое число  m,  что неравенство   an >m  выполняется для всех номеров  n.

Пример Ограничена и сверху и снизу М=1 M=0

Упражнение 1 Укажите номер функции, являющейся числовой последовательностью

Найдите первые пять членов последовательности заданной рекуррентно Y1=2 Yn=yn-1+5 Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4 Укажите номер убывающей последовательности

Упражнение 5 Является ли ограниченной последовательность