Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной в основании Занятие №3

Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной в основании Занятие №3 Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Решение простейших логарифмических неравенств: a > 1 x1 > x2 > 0 a > 1 x2 > x1 > 0 0 < a < 1 x2 > x1 > 0 0 < a < 1 x1 > x2 > 0

Свойство знаков двух выражений: выражения log a b и (b – 1)(a – 1) имеют один знак

Решение логарифмических неравенств с применением доказанного свойства

Алгоритм решения неравенства log h(x) f(x) > log h(x) g(x) 1) Находим область допустимых значений переменной (ОДЗ): 2) Решаем неравенство (f(х) – g(х))(h(х) – 1) > 0. (Условимся далее две последние строки системы писать одной так: 0 < h(x) ≠ 0) 3) Для найденного решения учитываем ОДЗ. 4) Записываем ответ.

Решите неравенство: 1) ОДЗ: 2) а)

б) С учётом ОДЗ – все х из С учётом ОДЗ – все х из Ответ: ≈ 2,24 ≈ 2,24 ≈ 3,6 ≈ 3,6

Решите неравенство: Ответ: В решении этого неравенства используем то, что Интересно, а может знак выражения совпадает со знак выражения

Докажем, что выражения a b – a с и (a – 1)(b – с) имеют один знак ( а > 0, а ≠ 1) Докажем, например, что a b – a с > 0 и (a – 1)(b – с) > 0 Доказательство. 1) а > 1; а – 1 > 0. a b – a с > 0; a b > a с ; показательная функция с основанием а > 1 – возрастает, тогда b > с; b – с > 0; получили: 2) а – положительно, но а < 1; а – 1 < 0. a b – a с > 0; a b > a с ; показательная функция с основанием 0 < а < 1 – убывает, тогда b < с; b – с < 0; получили: Доказано, что

Заключение о знаках двух выражений: выражения a b – a с и (a – 1)(b – с) ( а > 0, а ≠ 1) имеют один знак

Решите неравенство: 3) знак выражения совпадает со знак выражения В исходном неравенстве заменяем каждый множитель на выражение того же знака, получаем обязательно учитывая при этом ОДЗ:

ОДЗ: Неравенство имеет решение: С учётом ОДЗ, окончательно получим