Понятие производной

Понятие производной Алгебра и начала анализа 11 класс

Сегодня у нас праздник! Эпиграф: Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон. А.Поуп. Сегодня у нас праздник!

Что такое высшая математика? Когда она появилась? Что такое производная?

Как это было…

Ответим на вопрос: Что такое скорость?

Возможно, это было так… Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t). Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t). Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ). Тогда средняя скорость

Очевидно, если ∆t 0, то Vср. Vмгн. Значит,

А в это время… Лейбниц Готфрид Вильгельм, немецкий математик , физик, философ. Лейбниц – прямая противоположность И.Ньютону

И еще: Одновременно, но независимо друг от друга они подошли к открытию анализа бесконечно малых.

Возможно, это было так… Началось все с касательной!!!

А что такое касательная?

Задача о касательной к графику функции x y С ∆х=х-х0 ∆f(x) = f(x) - f(x0)

y С ∆х=х-х0 ∆f(x) = f(x) - f(x0) Предельное положение секущей при ∆х 0 и называется касательной. Причем, Или

Сравните: По секрету: это и есть производная!

Определение: Производной функции y= f(x), заданной на интервале (a, b), в точке х этого интервала называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, Ньютон, а затем Лейбниц, независимо друг от друга, пришли к открытию дифференциального и интегрального исчислений.

Механический смысл производной: Производная пути по времени есть скорость V(t) = S’(t)

Геометрический смысл производной: Тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке хо, равен значению производной в этой точке. К кас.= f’(хо )