Геометрические задачи типа «С4»

Геометрические задачи типа «С4» по материалам ЕГЭ – 2010 МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1» Чудаева Елена Владимировна, учитель математики, г. Инсар, Республика Мордовия

Задачи Помните:

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. №1

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. Найдем: Значит, Из ADC, Из ADВ, №1

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Значит, Из ADC, Из ADВ, №1 Рассмотрим 2 случай.

Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно А В С О x x y y z z Доказательство. М N К Мы знаем, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, значит AM=AK=x, BM=BN=y, CK=CN=z. Тогда, периметр АВС равен: , откуда или Вспомогательная задача.

Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM . Решение. Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. По условию АВС НВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. 1 случай. ВМН = ВАС; 2 случай. ВМН = АСВ; АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2. значит, , значит, №2

нижнее основание вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a, верхнее основание вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a. Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N . Найдите площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции втрое больше другого. Решение. Возможно два вида трапеции. Найдем площадь ОMPN: В обоих случаях: Рассмотрим первый случай. №3 SMONP=S AOD – S AMP – S PND.

По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120. 1) BOC AOD , по трем углам h 2) BMC AMP , по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: а 3а SMONP=S AOD – S AMP – S PND.

По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120. 1) BOC AOD , по трем углам h 2) BMC AMP , по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: Ответ: 27 или 5. 3а а SMONP=S AOD – S AMP – S PND.

№4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; Рассмотрим первый случай. 2) точка О – лежит вне параллелограмма. 12

№4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. М N Пусть О – точка пересечения биссектрис. Рассмотрим первый случай. 12 1) ABN – равнобедренный, т.к. ВNА= NAD- накрест лежащие; значит ВNА= ВAN и AB=BN=12, АN – биссектриса А, тогда Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12. Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5. 1,5 10,5 1,5

№4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. 1) ABМ– равнобедренный, т.к. Тогда АВ=ВМ=12. 2) Аналогично DNC– равнобедренный, 3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108. 12 12 12 12 ВMА= MAD- накрест лежащие; значит ВMА= ВAM. АМ – биссектриса А, Ответ: 13,5 или 108. тогда NC=DC=12.

http://office.microsoft.com/ru-ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D1%8B Использованные ресурсы Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина http://alexlarin.narod.ru/ege.html Рисунок на слайде №2 Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru