Объём пирамиды

Объём пирамиды. Геометрия, 11 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H. A B C S O H O1 h Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины. Т.к. ABC A1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур : A1 C1 B1 h [0; H ] Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

h H Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты. h [0; H ]

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы. H Sосн.1= Sосн.2 V1 = V2 h Sсеч.1= Sсеч.2

A B C B1 A1 C1 C A1 B Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1. Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC). Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).

A C B1 A1 C1 C A1 B B Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью (A1C1B) на две треугольные пирамиды: A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1). A1 C1 B

A C B1 A1 C1 C A1 B B A1 C1 B У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны. У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.

A C B1 A1 C1 C A1 B B A1 C1 B Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны: Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

h H h Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h: h [0; H ] 0

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды: S A3 An A2 A1 H

Итак, для любой n-угольной пирамиды: ,где Sосн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.