Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня

Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня Автор: ученик 8-а класса Гимназии №1 Сычев Алексей. Руководитель: Илющихина М.И.

Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √ а. Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня; а называется подкоренным выражением. Выражение √ а читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а». В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, говорят: «Корень квадратный из а». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4.

Итак, выражение √ а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √ а≥ 0, ( √ а ) = а Равенство ( √ а ) = а справедливо при а ≥ 0.

Квадратный корень из степени Вычислим значение выражения √ а при а=3 и а=-3. По определению квадратного корня √3 =3. При а=-3 находим √(-3) = √3 =3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать: √(-3) = -(-3) или √ (-3) = |-3|. Теорема 1: для любого числа а справедливо равенство √а = |а| . Рассмотрим два случая: а≥0 и a

Вместо того чтобы говорить, что равенство и √а² = |а| выполняется при любых значениях входящих в него букв, говорят, что это равенство выполняется тождественно. Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют тождествами.

Теорема 2. Если a>b>0, то √a> √b. В самом деле, если допустить, что √a ≤√b, то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим a≤b, что противоречит условию a>b.

Квадратный корень из произведения Теорема. Если a≥0, b≥0, то √ab=√a √b т.е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Для того чтобы доказать, что a b есть арифметический квадратный корень из ab, надо доказать, что: 1)√a∙√b≥0 2)(√a∙√b) =ab. по определению квадратного корня √ a≥0, √b≥0,поэтому √a∙√b≥0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня (√a∙√ b ) = (√a ) ∙(√b ) =ab.

Теорема. Если а ≥0, b>0,то т.е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. . В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби.

Требуется доказать, что: 1) 2) Так как По доказанной теореме при делении корней можно разделить подкоренные выражения и из результата извлечь корень: По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня получаем: