Математические чудеса и тайны

Средняя общеобразовательная школа при Посольстве России в Эфиопии Автор: Иванников Никита, ученик 6 класса. Руководитель: Комаров Владимир Михайлович, учитель математики. Консультант: Комарова Надежда Моисеевна, учитель математики, заместитель директора школы по учебно-воспитательной работе, Заслуженный Учитель РФ. Аддис- Абеба 2009

Сколько фотографий? В нашей семье шесть человек: мама, папа, я и мои братья Гриша, Захар и Макар. Сколько получится различных фотографий, если мы встанем в один ряд и будем меняться местами? А сколько будет фотографий, если мама возьмет Макара на руки? Сколько времени займет фотографирование, если мы будем перестраиваться за 1 секунду?

Сколько подарков? На Новый год мы делаем друг другу подарки и обмениваемся рукопожатиями. Сколько будет подарков? А сколько рукопожатий? Сколько хороводов? Мы водим хоровод вокруг елки. Сколько различных «хороводов» можно составить из членов нашей семьи? А сколько получится «хороводов», если каждый окажется рядом с остальными только один раз? Возможно ли это?

Сколько лет братьям? Гриша младше меня на четыре года, Захар в четыре раза старше Макара и на три года младше Гриши. Сколько лет каждому из нас, если вместе нам 23 года?

Сколько велосипедов? У ребят нашего дома двухколесные и трехколесные велосипеды. Сколько двухколесных и сколько трехколесных велосипедов, если у них 7 рулей и 18 колес?

Задача 1. Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню, перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне сколько в том лукошке яиц было»? Сколько яиц в лукошке?

Задачи на взвешивания Задача 2. Из девяти монет одна фальшивая − она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету? Задача 3. Имеется 10 мешков с монетами, в девяти из них настоящие монеты по 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты по 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как одним взвешиванием обнаружить мешок с фальшивыми монетами?

Логические задачи Задача 4. Крестьянин должен перевезти через реку волка, козу и капусту. Лодка так мала, что в ней, кроме крестьянина, может поместиться только один волк, или только одна коза, или только капуста. Как ему поступить, чтобы во время переправы волк не съел козу, а коза не съела капусту? Считается, что в присутствии крестьянина волк не съест козу, а коза не съест капусту. Задача 5. Некий путешественник в ожидании денежного перевода должен был на неделю поселиться в гостинице. Он договорился с хозяином, что заплатит ему за постой серебряной цепочкой из семи звеньев. Хозяин был большим любителем головоломок, и поставил условие: за каждый день постоялец должен платить ровно по одному звену, разрезав при этом не более одного звена цепочки. Как путешественник расплачивался с хозяином гостиницы?

Задача 6. Старый гном разложил свои сокровища в 3 цветных сундука, стоящих у стены: в один − драгоценные камни, в другой − золотые монеты, а в третий − магические книги. Он помнит, что: − красный сундук правее, чем драгоценные камни; − магические книги правее, чем красный сундук; − зеленый сундук стоит левее, чем синий. В каком сундуке магические книги? Задача 7. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой − красное, на третьей − белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

Переливания Задача 8. Хозяин имеет три бочки А, В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С − пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и добавить еще 4 ведра кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка? Задача 9 Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре останется после этого воды?

Сколько фотографий? а) первое место слева на фото может занять любой из шести членов семьи, второе место − любой из пяти остальных, таким образом, существует 6·5 = 30 возможностей занять первое и второе места. Чтобы оказаться на третьем месте − 4 возможности и так далее. Всего фотографий 6·5·4·3·2·1 = 720; б) 5·4·3·2·1 = 120; в) 720с = 2часа. Сколько подарков? Каждый из шестерых делает подарок пятерым. Всего 30 подарков. Рукопожатий − 15. Сколько хороводов? а) 720; б) можно образовать два хоровода, в которых некоторые встречается с остальными только 1 раз, но при этом не встретятся пары 1-3, 2-5, 4-6 (см. рисунок) Третий хоровод, удовлетворяющий условию задачи, образовать не удастся. 1 6 5 4 2 3 6 3 5 2 1 4

Сколько лет братьям? Пусть мой возраст х лет, тогда возраст остальных моих братьев находится из уравнения: Х + (х− 4) + (х − 4 − 3) + 0,25(х − 4 − 3) = 23; х = 11. Сколько велосипедов? Поставим трехколесные велосипеды на два задних колеса, тогда на земле будут находиться 14 колес (всего велосипедов 7), а 4 колеса подняты над землей, они принадлежат трехколесным велосипедам. Трехколесных велосипедов − 4, двухколесных − 3. Задача 1. Найдем сначала число, которое делится на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 без остатка − это НОК(2,3,4,5,6) = 60. Запишем несколько кратных числа 60: 120, 180, 240, 300, 360,…и рассмотрим числа, большие них на 1: 121,181, 241, 301, 361,…Эти числа при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дают остаток 1. Найдем среди них числа, кратные 7. Первое такое число 301, потом − 721 и т. д. Задача 2. Разделим монеты на три кучки по три в каждой. Положим на чашки весов любые две кучки. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Возьмем любые две монеты из этой кучки и положим на чашки весов. Если весы в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая, а если… продолжите решение самостоятельно.

Задача 9. После доливания1литра сока получилась смесь. В 1 литре смеси содержится 1/5 часть всей воды, т. е. 1/5 от 4 литров, что составляет 4/5л = 0,8л. 4л − 0,8л = 3,2л − осталось воды после второго переливания. 1/5 от 3,2л есть 0,64л. 3,2 − 0,64 = 2,56(л) − осталось воды после третьего переливания. Задача 3. Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго − 2, из третьего − 3… … из 10 − 10 монет. Если бы все монеты были настоящие, то масса монет, взятых указанным способом, была бы равна 10 + 20 + … + 90 + 100 = (10 + 100)·5 = 550(г) Если фальшивые монеты находятся в первом мешке, то общая масса монет на весах будет на 1г меньше, т. е. 550 − 1, если фальшивые монеты находятся во втором мешке, то масса монет будет 550 − 2, в третьем, то − 550 − 3 грамма и т. д. Задача 4. Крестьянин перевозит сначала козу, затем − волка, а козу забирает с собой, потом капусту, оставив козу одну на берегу и, оставив капусту с волком, возвращается за козой. Задача 5. Нужно разрезать третье звено цепочки и отдать его в оплату первого дня, во второй день отдать два звена, а разрезанное получить как сдачу и т. д. Задача 6. Магические книги − в синем. Задача 7. Краснова − в белом. Задача 8. Пусть в первой бочке А ведер кваса, во вторую помещается В ведер, а в третью − С ведер, тогда В = 3/5А, С = 4/9А. Из условия следует, что В + С = А + 4 ведра или В + С = (3/5 + 4/9)А = 47/45А = А +2 /45А, тогда 4 ведра = 2/45А, А = 90 ведер. В = 54 ведра, С = 40 ведер. Задача 4. Крестьянин перевозит сначала козу, затем − волка, а козу забирает с собой, потом капусту, оставив козу одну на берегу и, оставив капусту с волком, возвращается за козой.

● Кенгуру. Задачи международного конкурса-игры. Выпуск 5. − Санкт-Петербург, 2000 г. ● LXV московская математическая олимпиада. − Москва, 2002 г. ● Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. − Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1978 г. ● Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. − Москва, «Просвещение», 1988 г. ● Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. − Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1978 г. ● Коваль С. От развлечения к знаниям. − Wydawnictwa naukowo-tecniczne, Warszawa, 1975. ● Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. − Москва, «Просвещение», 2000 г. ● Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные Занимательные задачи. − Москва, АО «Столетие», 1994 г.