Аналитическая геометрия

Математика Лекция 5

* Аналитическая геометрия

* Алгебраические поверхности и линии на плоскости первого порядка Опр. Геометрическое место точек в пространстве (на плоскости) определяет плоскость (прямую на плоскости) тогда и только тогда, когда декартовы координаты x, y, z текущей точки М удовлетворяют алгебраическому уравнению первого порядка

* В пространстве На плоскости поверхность линия плоскость прямая Введем вектор Вектор называется нормальным вектором (нормалью) плоскости и прямой на плоскости Введем радиус-вектор текущей точки

* Геометрический смысл нормального вектора Задача 1. На плоскости дана точка и вектор . Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Рассмотрим текущую точку прямой тогда вектор лежит на данной прямой. С Вектор

* Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.

* Задача 2. В пространстве дана точка и вектор . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Рассмотрим текущую точку прямой вектор лежит на плоскости. D Вектор

* Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный плоскости.

* Уравнения в отрезках Общее уравнение плоскости Общее уравнение прямой на плоскости Пусть тогда Пусть тогда Обозначим Получим

* Исследование уравнения прямой 1. 2. 3.

* 4. 5. 6.

* Исследование общего уравнения плоскости 1. 2. O(0,0,0) P

* 3а. P||OX 3б. P||OY 3в. P||OZ

* 4а. P||XOY 4б. P||XOZ 4в. P||YOZ

* 5а. плоскость YOZ 5б. плоскость XOZ 5в. плоскость XOY

* Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве Дана точка и вектор . Записать уравнение прямой, проходящей через эту точку параллельно вектору . Опр. Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой. , где t – параметр

* Прямая на плоскости Прямая в пространстве

* Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве Если исключить параметр t из параметрического уравнения, то получим каноническое уравнение прямой. на плоскости в пространстве

* Уравнение прямой проходящей через две точки М1 и М2 на плоскости в пространстве

* Параметрическое уравнение плоскости Дана точка и два неколлинеарных вектора Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам . Векторы компланарны, линейно зависимы один из них является линейной комбинацией остальных, т.е. p, q – параметры или

* Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам Т.к. векторы компланарны, то

* Уравнение плоскости, проходящей через три точки Векторы компланарны