Решение прямоугольного треугольника

1)∟А + ∟В = 900 , sinA = cosB 2)с2 = а2 + в2 3)а = с cosβ в = с sinβ tgB = в/а О – середина АВ ( О – центр описанной окружности) R- радиус описанной окружности, АВ- диаметр описанной окружности. r- радиус вписанной окружности

h – высота, проведённая к гипотенузе С. или h2 = ac ∙ bc в2 = c ∙ bc a2 = c∙ ac

∆АВС: СО – медиана СH – высота СС1 – биссектриса ∟С Тогда ∟ОСС1 = ∟HCC1 Биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам, проведёнными из той же вершины угла.

Дано: ∆АВС – прямоугольный ( ∟С = 900 ), CH – высота АС = 10, АH = 8 Найти: S∆АВС Решение: 1) ∆АCH: AH= 8; AC= 10; CH= √AC2 – AH2 = √102 – 82 = √36 = 6 2) CH2 = AH ∙ HB, HB= CH2/AH = 62/8 = 9/2 = 4.5 3) AB = AH + HB = 8 + 4.5 = 12.5 4) S∆= 1/2АB ∙ CH= 1/2 ∙ 6 ∙ 12.5= 37.5 Ответ. 37.5

Дано: ∆АВС – прямоугольный ( ∟С = 900 ), Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы. АВ= 25, ВС= 20 О- точка пересечения медиан. Найти: OT Решение: Проведём CH – высоту, тогда ОТ OH, как перпендикуляры, проведённые к АВ. Значит ∆ОТМ ∞ ∆ОHМ, следовательно СМ – медиана, значит ОМ / CM= 1/3 Тогда ОТ / CH= 1/3, т.к. CH- высота, проведённая из вершины прямого угла, то CH= AC∙ BC / AB AC = √AB2 – BC2 = √ 252- 202 = √225 = 15 (см) CH= 15 ∙ 20 /25= 12 (см) OT= CH / 3= 12/3= 4 (см) Ответ. 4 см

Периметр прямоугольного треугольника равен 72см, а радиус вписанной окружности равен 6см. Найти диаметр описанной окружности. Дано: ∆АВС – прямоугольный ( ∟С = 900 ), P= 72см, r = 6см. Найти: АВ Решение: АВ- диаметр описанной окружности. О - центр вписанной окружности ( точка пересечения биссектрис углов). r = 6, (а + в – с)/ 2 = 6 P= а + в + с, а + в = P – c = 72 – c , тогда (72 –с –с)/ 2= 6, 72 -2c = 12, 2c= 60, C=30, AB= 30. Ответ. 30 см

Дано: ∆АВС – прямоугольный, ВМ, АN, CP – медианы. АN= 12 см, ВМ= 4√11 см. Найти: СР Решение: Р – середина АВ. Р – центр описанной окружности около ∆АВС. Значит АР=РВ=РС, следовательно СР= ½ AB. AN2 = AC2 + CN2 , BM2 = BC2 + CM2 ; 144 = AC2 + (1/2BC)2 , 176 = BC2 + (1/2AC)2 ; AC2 + 1/4(BC)2 = 144, BC2 + 1/4(AC)2 = 176; 5/4 AC2 + 5/4 BC2 = 320, 5/4 (AC2 + BC2)= 320 / ∙ 4/5 AC2 + BC2 = 256. AC2 + BC2 = AB2, значит AB2= 256, АВ= 16. Тогда СР= ½ AB= ½ ∙ 16= 8 (см) Ответ. 8 см

Дано: ∆АВС – прямоугольный ( ∟С = 900 ), ВМ – биссектриса ∟В. sinA= 0.8, S∆СBM =8 Найти: S∆АВС Решение: S∆АВС = ½ AC ∙ BC S∆СBM = ½ MC ∙ BC , ½ MC ∙ BC = 8, MC ∙ BC = 16. (1) sinA= 0.8, значит cosB= 0.8 tgв/2= √1- cosB / √1+ cosB= √1- 0.8 / √1+ 0.8= √0.2/1.8= √1/9= 1/3 tgв/2= MC/BC, MC/BC= 1/3, MC= 1/3 BC. (2) Подставим в (1) равенство, получим: BC ∙ 1/3BC= 16, 1/3 BC2= 16 Значит BС2= 48, ВС= 4√3 (см) ∆АВС: BC= 4√3, sinA= 0.8

tgA= BC/AC, AC= BC : tgA= BC : sinA/cosA= 4√3 : 0.8 / √1-(0.8)2= = 4√3 ∙ 0.6/0.8= 3√3 (см). S∆АВС= ½ AC ∙ BC= ½ ∙ 3√3 ∙ 4√3= 18 (см)2 Ответ. 18 (см)2

В прямоугольном треугольнике АВС высота CH, проведенная из вершины прямого угла, равна 3, АС= 5. Найти SABC Ответ. 9.375. 2) В прямоугольном треугольнике АВС(∟С= 900), проведена биссектриса ВК. Найти 9√5S, где S- площадь ∆СВК. S∆ABC= 3√5, а sinA= 2/7. Ответ. 63. 3) В прямоугольном треугольнике АВС(∟С= 900). Через центр О – вписанной в треугольник окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что АМ= 8√3, ∟А= ∟МВС. Найти гипотенузу. Ответ. 24.

4) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16см. Найти диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Ответ. 25см. 5) Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2√22, а катет ВС равен 6. Найти длину медианы ВК. Ответ. 7.