Применение свойств квадратичной функции

Применение свойств квадратичной функции Алексеевский Сергей МБОУ «СОШ № 2 ст. Архонская»

Задачи на определение числа корней квадратного уравнения. П р и м е р 1. Имеет ли корни уравнение 1716х2 – 5321х + 3248 = 0? Решение. D = 53212 – 4 · 1716 · 3248 > 5000 · 5000 – – 4 · 1750 · 3250 = 5000 · 5000 – 2 · 1750 · 2 · 3250 = = 25 000 000 – 3500 · 6500 = = 25 000 000 – 22 750 000 > 0. Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Рассмотрим функцию f(х) = 1716х2 – 5321х + 3248. Пусть х = 1, тогда f(х) = 1716 – 5321 + 3248 < 1800 + 3300 – 5321 < 0. Это означает, что парабола опускается ниже оси х. Поэтому она пересекает ось х в двух точках, а значит, данное уравнение имеет два корня.

Задачи на определение числа корней квадратного уравнения. П р и м е р 2. Сколько корней имеет уравнение (х – 100)(х – 101) + (х – 101)(х – 102) + (х – 102)(х – 100) = 0? Решение. Раскроем скобки в левой части и представим её в виде квадратного трехчлена с положительным коэффициентом при х2. Обозначим этот трехчлен через f(х). Найдем f(101): f(101) = 0 + 0 – 1 < 0. Таким образом, трехчлен f(х) может принимать отрицательные значения. Так как коэффициент при х2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, т. е. данное уравнение имеет два корня.

Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой. П р и м е р 3. Докажем, что один из корней уравнения 52х2 – 70х + 15 = 0 больше 1, а другой меньше 1. Решение. Докажем, что число 1 лежит между корнями данного уравнения. Возьмем функцию f(х) = 52х2 – 70х + 15 и найдем f(1): f(1) = 52 – 70 + 15 < 0. Функция у = f(х) может принимать отрицательные значения. Таким образом, график функции f(х) — парабола, ветви которой направлены вверх и которая опускается ниже оси х. Отрицательные значения эта функция принимает в промежутке между корнями. Так как f(1) < 0, то х1 < 1 < х2.

Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой. П р и м е р 4. Установить, как на координатной оси расположены числа: а) х1, х2, 0, 1, если х1 и х2 – корни квадратного трёхчлена f(х) = 10х2 – 18х – 17 и х1 < х2. Р е ш е н и е. а) Очевидно, что f(0) = – 17 < 0, ветви параболы направлены вверх. Так как f(1) < 0, то число 1 х1 0 х2 х так же, как и число 0, расположено между корнями квадратного трехчлена. Таким образом, х1 < 0 < 1 < х2.

Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой. П р и м е р 4. Установить, как на координатной оси расположены числа: б) х1, х2, – 10, – 1, если х1, х2 – корни квадратного трёхчлена f(х) = – 12х2 – 23х + 27 и х1 < х2. Р е ш е н и е. б) Число f( – 1) больше 0, ветви параболы направлены вниз, f(10) = – 943 < 0, значит, х1 – 1 х2 х число – 10 расположено левее меньшего корня. Итак, – 10 < х1 < – 1 < х2.

Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции. П р и м е р 5. Мяч подброшен вертикально вверх. Зависимость высоты мяча над землей h (м) от времени полета t (с) выражается формулой h = – 5t2 + 10t + 1,5. На какую максимальную высоту поднимется мяч? Р е ш е н и е. Траектория полёта представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, своего наибольшего значения она достигнет в вершине параболы, т. е. решение задачи свелось к нахождению координат вершины параболы: t = (с), h = – 5 + 10 + 1,5 = 6,5 (м). О т в е т: 6,5 метра.

Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции. П р и м е р 6. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = – 5t2 + 39t, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 28 м. Р е ш е н и е: Решим неравенство: – 5t2 + 39t ≥ 28, 5t2 + 39t – 28 ≤ 0, D = 961, t1 = 0,8, t2 = 7. На высоте не менее 28 метров, камень находился 7 – 0,8 = 6,2 секунды. О т в е т: 6,2 с.

Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции. П р и м е р 7. Брандспойт, закреплённый под определённым углом на пожарной машине, выстреливает струю воды с постоянной начальной скоростью. Высота струи воды описывается формулой у = ах2 + bх + с, где постоянные параметры. На каком максимальном расстоянии в метрах от забора нужно поставить машину, чтобы вода перелетала через верх? Высота забора равна 19 м. Решение. Рассуждая аналогично, составим неравенство и решим его: – х2 + 180х + 630 ≥ 5130, х2 – 180х + 4500 ≤ 0, (х – 30)(х – 150) ≤ 0, 30 ≤ х ≤ 150. Наибольшее расстояние равно 150 метров. О т в е т: 150 м.